[DM_Maths]Pour la rentrée de février 2008

Exercice I


1/
Les vecteurs U et V sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire U.V est nul.
Or U.V = a(1 + b) – 5.1 + (1- a)b.
Donc U et V sont orthogonaux si et seulement si a – 5 + b = 0.
Les couples de numéros lus lors du tirage dont la somme est 5 sont :
(1 ;4) ; (2 ;3) ; (3 ; 2) et (4 ;1), avec pour chaque couple (tirage avec remise)
une probabilité de tirage de (1/4)2.
La probabilité que ces vecteurs soient orthogonaux est donc de 4
´ (1/4)2 = 1/4.

2/ a)

A1 désigne l'événement : « A gagne la première partie ».
Pour réaliser A1 il faut que A obtienne des vecteurs orthogonaux et B des vecteurs non orthogonaux,
tirages indépendants de probabilités respectives 1/4 et 3/4. Par suite p(A1) = 1/4.3/4 = 3/16.
Un raisonnement semblable au précédent conduit à p(B1) = 1/4.3/4 = 3/16.
Le jeu s'arrête à la fin de la première partie lorsque l'événement A1 È B1,
union des événements incompatibles A1 et B1, est réalisé. Il se poursuit dans le cas contraire.
Par suite C1 est l’événement contraire de A1 È B1 et
D'où P(C1) = 1 – 3/16 – 3/16) = 5/8.

b)

P(Cn + 1 / Cn) = 5 / 8 et par définition P(Cn + 1 / Cn) = P(Cn+1 Ç Cn) / P(Cn).
Mais puisque Cn+1 Ì Cn, Cn+1 Ç Cn = Cn+1, P(Cn+1 Ç Cn) = P(Cn+1) et P(Cn + 1 / Cn) = P(Cn+1) / P(Cn).
Soit P(Cn+1) = 5P(Cn) / 8, donc P(Cn) est le n-ième terme de la suite géométrique de
premier terme p(C1) = 5/8 et de raison 5/8.
Il en résulte que P(Cn) = P(C1) .( 5/8 )n – 1 = (5/8 )n.
Pour que A gagne la (n + 1) - ième partie il faut que le jeu continue après la n-ième partie,
que A obtienne au cours de cette (n + 1) - ième partie deux vecteurs orthogonaux et que
B n'obtienne pas de vecteurs orthogonaux.
En utilisant le même raisonnement que précédemment pour Cn+1,
P(An+1/Cn ) = 3/16 or P(An+1/Cn ) = p(An+1).Donc P(An+1/Cn ) = P(An+1)/P(Cn).
Il en résulte donc que p(An) = 3( 5/8 )n-1/16

3/ a)

Nous avons 0 < 5 / 8 < 1 donc la limite de P(An) lorsque n rend vers + ¥ est égale à 0.
On cherche le plus petit entier n tel que 3( 5/8 )n-1/16 £ 0,01.
En prenant le logarithme népérien des deux membres,
fonction croissante : (n – 1)ln( 5/8 ) + ln3 £ ln(0,16),
après calculs, nous trouvons que la plus petite valeur de n est 8.

Internet est ton ami. Et pour le second et bah faut fouiller dans ses annabacs ! Nathan si tu pourrais nous scanner le corrigé

il est dans le bouquin à Arnaud

marf ok bon Arnaud si tu nous entends balance nous le corrigé

C'était très dur à trouver.......

Mika a écrit:

Internet est ton ami.

C'est pour les pauvres âmes perdues qui ne savent pas utiliser google

c'est vrai qu'on a pas vraiment respecté le "code" et on s'en excuse mais bon c'est pas si grave

Arf la modératrice modère l'admin T'as bien raison sur ce coup. Mais bon feignasse comme je suis pour faire ces dms de maths je file ce que je peux trouver sur le net. Mais au fond tu as raison